\documentclass{beamer}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
%\usepackage{fourier}
\usetheme[pageofpages=/,% String used between the current page and the
                         % total page count.
          alternativetitlepage=true,% Use the fancy title page.
          ]{Torino}
%\usecolortheme{freewilly}

\author{Kollár Bálint}
\title{A véletlen bolyongás}
\institute{Eötvös Loránd Tudományegyetem \\ \scriptsize{V. Informatikus Fizika}}
\date{Statisztikus Fizika Szeminárium, 2010. február. 22.}


\begin{document}


\begin{frame}[t,plain]
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Vázlat}
\begin{itemize}
\item A véletlen repülés problémája
\item A véletlen bolyongás és aszimptotikája
\item Visszaverő határfeltétel
\item Elnyelő határfeltétel
\item Folytonos változók
\item Összefoglalás
\item Hivatkozások
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{A véletlen repülés (\textit{random flight}) problémája}
\begin{itemize}
\item\textit{A priori} ismert:
	\begin{itemize}
	\pause
	\item $\mathbf{r}_1\,,\, \mathbf{r}_2\,,\, \ldots\,,\, \mathbf{r}_i\,,\, \ldots$ elmozdulásvektorok
 	\pause
	\item $\tau(\mathbf{r}_i)$ eloszlásfüggvény
	\end{itemize}
\pause
\item Kérdés: $ W(\mathbf{R},N) d \mathbf{R} = ? $
	\begin{itemize}
	\pause
	\item azaz $\mathbf{r}_1\,,\, \mathbf{r}_2\,,\, \ldots\,,\, \mathbf{r}_i\,,\, \ldots$ elmozdulásvektorokból $N$-szer $\tau(\mathbf{r}_i)$ eloszlásfüggvény szerint véletlenül és függetlenül választva mekkora valószínűséggel érkezünk $ \mathbf{R}+ d \mathbf{R}$ intervallumba?
	\end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\pause
\item "A legegyszerűbb egydimenziós probléma": A véletlen bolyongás
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}[t]{A véletlen bolyongás (\textit{random walk}) és aszimptotikája}
\begin{itemize}
\item Alapvető modell, Diffúzió, Járványterjedés, Google Pagerank
\item Mechanikusan konstruálható: Galton-deszka (\textit{Galton board})
\pause
\item Definíció: Origóból ($0$) indulva egy számegyenesen  lépkedünk, \textbf{minden} lépéskor:
	\begin{itemize}
	\item egységnyit lépünk $+$ vagy $-$ irányba \\ (elmozdulásvektoraink: $r_1=1\,,\, r_2=-1$)
	\pause
	\item egyenlő valószínűséggel választunk a két irány közül \\ ($\tau(r_1) = \tau(r_2) = \frac{1}{2}$)
	\end{itemize}
\pause
\item Kérdések:
	\begin{itemize}
	\item \alert{$W(m, N) = ?$}
	\pause
	\item számos egyéb probléma: szórás, több dimenzióra kiterjesztés, Pólya-szám, kiegyensúlyozatlan eset, belső szabadsági fok, kvantummechanikai általánosítás
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{\textit{Példa a véletlen bolyongásra}}
\begin{center}
\only<1>{\includegraphics[width=0.90\textwidth]{1abra1.pdf}}
\only<2>{\includegraphics[width=0.90\textwidth]{1abra2.pdf}}
\only<3->{\includegraphics[width=0.90\textwidth]{1abra3.pdf}}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{A véletlen bolyongás és aszimptotikája II.}
\begin{itemize}
\item Kérdés:  $W(m, N) = ?$
\pause
\item Minden trajektória $r_1$ és $r_2$ véletlen sorozatából áll elő (definíció!)
\pause
\item Minden trajektóriának ugyanannyi a valószínűsége ($2^{-N}$)
\pause
\item $m$ pontba hány trajektórián juthatunk el?
	\begin{itemize}
	\pause
	\item $N/2+m/2$ lépés $r_1$ ($+$) irányba és  $N/2-m/2$ lépés $r_2$ ($-$) irányba
	\pause
	\item ismétléses permutáció $\Rightarrow$ $N!/\left[(\frac{1}{2}(N+m))\right]!\left[(\frac{1}{2}(N-m))\right]!$
	\end{itemize}
\end{itemize}
\pause
\vspace{1cm}
\begin{center}
\alert{$W(m,N) = \frac{N!}{\left[(\frac{1}{2}(N+m))\right]!\left[(\frac{1}{2}(N-m))\right]!} \cdot 2^{-N}$} \\ \vspace{0.3cm} (binomiális eloszlás)
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{\textit{Binomiális eloszlás}}
\begin{center}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.90\textwidth]{2abra.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{A véletlen bolyongás és aszimptotikája III.}
\begin{itemize}
\item $W(m,N) = \frac{N!}{\left[(\frac{1}{2}(N+m))\right]!\left[(\frac{1}{2}(N-m))\right]!} \cdot 2^{-N}$
\item Könnyen belátható: $\langle m \rangle = 0$ \\ ($W(m, N)$ szimmetrikus $m$-re))
\pause
\item Szintén könnyen belátható: $\langle m^2 \rangle = N$
\item $\Rightarrow \Delta m = \sqrt{N}$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{A véletlen bolyongás és aszimptotikája IV.}
\begin{itemize}
\item $W(m,N) = \frac{N!}{\left[(\frac{1}{2}(N+m))\right]!\left[(\frac{1}{2}(N-m))\right]!} \cdot 2^{-N}$
\item $N \rightarrow \infty $ hatáereset 
\pause
\item Stirling: $\log n! = (n+\frac{1}{2}) \log n - n + \frac{1}{2} \log 2 \pi + {\cal O}(n^{-1}) $ \\
$ \log(W(m,N)) \approx (N + \frac{1}{2}) \log N 
- \frac{1}{2} (N+m+1) \log(\frac{N}{2}(1+\frac{m}{N})) -$ \\
$- \frac{1}{2} (N-m+1) \log(\frac{N}{2}(1-\frac{m}{N})) - \frac{1}{2} \log 2 \pi - N \log 2$
\pause
\item Feltevés: $ m < < N $
\item Sorfejtés: $\log(1 \pm \frac{m}{N}) = \pm \frac{m}{n} - \frac{m^2}{2N^2} + {\cal O}(m^3/N^3)$ \\
$ \log(W(m,N)) \approx (N+\frac{1}{2}) \log N - \frac{1}{2} \log 2 \pi - N \log 2 -$\\
$- \frac{1}{2}(N+m+1)(\log N - \log 2 + \frac{m}{N} - \frac{m^2}{2N^2}) $\\
$- \frac{1}{2}(N-m+1)(\log N - \log 2 - \frac{m}{N} - \frac{m^2}{2N^2}) $
\pause
\item $W(m,N) \approx \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)} \exp\left(\frac{-m^2}{2N}\right) $ \quad (Gauss)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Visszaverő határfeltétel}
\begin{itemize}
\item A számegyenes egy $m=a > 0$ pontján visszaverő falat helyezünk el ($a > 0$ feltételt a szimmetria miatt megtehetjük)
\pause
\item Ha a bolyongó eléri $a$-t, akkor $1$ valószínűséggel $-$ irányba ($r_2$) lép. 
\pause
\item Kérdés: $W_r(m, N, a) = ?$
\pause
\item Észrevételek:
	\begin{itemize}
	\item A bolyongó nem tartózkodhat $m>a$ helyen
	\pause
	\item Ha a trajektória $n$-szer érinti a falat, akkor $2^n$-szer kell számolnunk a valószínűségét. \\ (Mivel a falhoz érésker $1$ valószínűséggel fog $-$ irányba lépni.)
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Visszaverő határfeltétel II.}
\begin{columns}
\column{0.50\textwidth}
\begin{itemize}
\item Megoldás: a fal mint tükör $\Rightarrow$ $D$-hez $D'$ képpont
\only<1>{\item $n=1$ kontakt a fallal: \\ $E$ ponttól kezdve $D$-be és $D'$ képpontba a szimmetria miatt ugyanannyi olyan trajektória vezet, amelyek csak egyszer érintették a falat ($E$ pontban)}
\only<2->{\item $n=2$ kontakt a fallal: \\ $D$ pontba és $D'$ képébe $0ABCD$, $0AB'CD$, $0AB'CD'$, $0ABCD'$ trajektóriák vezetnek, tehát $2$ kontakt esetén ez az elvárt $4$-szeres súly}
\end{itemize}
\column{0.50\textwidth}
	\includegraphics[width=1.00\textwidth]{3abra.pdf}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Visszaverő határfeltétel III.}
\begin{columns}
\column{0.50\textwidth}
\begin{itemize}
\item Ez a meggondolás könnyedén általánosítható, így: \\ $W_r(m,N,a) = W(m,N) + W(2a-m,N)$
\only<1>{\vspace{3.1cm}}
\only<2->{\item A korábbi közelítéseket alkalmazva: \\  $W_r(m,N,a) \approx \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)}\left[ \exp\left(\frac{-m^2}{2N}\right) \right.  + $\\ +$ \left. \exp\left(\frac{-(2a-m)^2}{2N}\right) \right] $}
\end{itemize}
\column{0.50\textwidth}
	\includegraphics[width=1.00\textwidth]{3abra.pdf}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[t]{Elnyelő határfeltétel}
\begin{itemize}
\item A számegyenes egy $m=a > 0$ pontján elnyelő falat helyezünk el ($a > 0$ feltételt a szimmetria miatt megtehetjük)
\pause
\item Ha a bolyongó eléri $a$-t, akkor soha többé nem képes  mozgásra
\pause
\item Kérdés: $W_a(m, N, a) = ?$
\item Kérdés: $a(a,N) = ?$ \\  (annak a valószínűsége, hogy a bolyongó az $N.$ lépésben pont eléri a falat, de előtte sohasem érintette)
\pause
\item Észrevételek:
	\begin{itemize}
	\item A bolyongó nem tartózkodhat $m>a$ helyen
	\pause
	\item Egy $m<a$ pozícióba vezető trajektóriák közül azokat nem szabad számolni amelyek legalább egyszer érintették a falat
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Elnyelő határfeltétel II.}
\begin{columns}
\column{0.50\textwidth}
\begin{itemize}
\item Megoldás: a visszaverő határfeltételhez hasonló meggondolás
\only<1>{\vspace{3.4cm}}
\only<2->{
\item Egy $D$-hez tartozó $D'$ képpontba futó trajektóriák száma pont megegyezik a $D$-be futó olyan trajektóriák számával, amelyek érintették a falat $\Rightarrow$ $D'$-be futó trajektóriák számát ki kell vonnni $D$-be futókból}
\end{itemize}
\column{0.50\textwidth}
	\includegraphics[width=1.00\textwidth]{3abra.pdf}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Elnyelő határfeltétel III.}
\begin{columns}
\column{0.50\textwidth}
\begin{itemize}
\item $W_a(m,N,a) = W(m,N) - W(2a-m,N)$
\item Aszimptotikusan: \\  $W_a(m,N,a) \approx \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)} \left[ \exp\left(\frac{-m^2}{2N}\right)  - \right.$ \\ $- \left. \exp\left(\frac{-(2a-m)^2}{2N}\right) \right] $
\end{itemize}
\column{0.50\textwidth}
	\includegraphics[width=1.00\textwidth]{3abra.pdf}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Elnyelő határfeltétel IV.}
\begin{columns}
\column{0.50\textwidth}
\begin{itemize}
\item $a(a,N) = ?$
\item Ha $a$ pontba szeretnénk elérni pont $N.$ lépésben, akkor a két piros pont valamelyikében kell lennünk előtte.
\only<1>{\vspace{4.0cm}}
\only<2->{\item A bal oldali piros pontba vezető trajektóriák sem mind megengedettek, mert lehet, hogy érintkeztek a fallal $\Rightarrow$ de eddigiek alapján láttuk, hogy  a képpont pont ezeknek az érintkező trajektróiáknak a számát adja meg.}
\end{itemize}
\column{0.50\textwidth}
	\includegraphics[width=1.00\textwidth]{4abra.pdf}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Elnyelő határfeltétel V.}
\begin{columns}
\column{0.50\textwidth}
\begin{itemize}
\item $ \frac{N!}{\left[(\frac{1}{2}(N-a))\right]!\left[(\frac{1}{2}(N+a))\right]!} - $ \\
$ - 2 \frac{(N-1)!}{\left[(\frac{1}{2}(N+a))\right]!\left[(\frac{1}{2}(N-a-2))\right]!} =$\\ 
$= \frac{a}{N} \frac{N!}{\left[(\frac{1}{2}(N+a))\right]!\left[(\frac{1}{2}(N-a))\right]!} =$ \\
$ \Rightarrow a(a,N) =  \frac{a}{N} W(a,N)$
\only<1>{\vspace{1.3cm}}
\only<2>{\item Aszimptotikusan: \\
$a(a,N) \approx \frac{a}{N} \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)} \exp\left(\frac{-a^2}{2N}\right)$}
\end{itemize}
\column{0.50\textwidth}
	\includegraphics[width=1.00\textwidth]{4abra.pdf}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Folytonos változók}
\begin{itemize}
\item $x = ml \,,\, N=nt \,,\, D=\frac{1}{2}nl^2 \,,\, x_1=al $, ahol $l$ $1$ lépés hossza, $n$ a lépések száma egységnyi idő alatt
\item $W(m,N) = \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)} \exp\left(\frac{-m^2}{2N}\right) $
\pause
\item  \alert{ $W(x,t) \Delta x = \sqrt{\left(\frac{1}{4\pi D t}\right)} \exp\left(\frac{-x^2}{4 Dt}\right) \Delta x $} \\  (A véletlen repülés probléma általános megoldása)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Folytonos változók II.}
\begin{itemize}
\item $x = ml \,,\, N=nt \,,\, D=\frac{1}{2}nl^2 \,,\, x_1=al $, ahol $l$ $1$ lépés hossza, $n$ a lépések száma egységnyi idő alatt
\item  $W_r(m,N,a) = \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)} \left[ \exp\left(\frac{-m^2}{2N}\right)  +  \exp\left(\frac{-(2a-m)^2}{2N}\right) \right] $
\pause
\item  $W_r(x,t,x_1) = \sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi D t}\right)} \left[ \exp\left(\frac{-x^2}{4 D t}\right)  +  \exp\left(\frac{-(2x_1-x)^2}{4 D t}\right) \right] $
\pause
\item $\left( \frac{\partial W_r }{\partial x} \right)_{x=x_1} = 0$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Folytonos változók III.}
\begin{itemize}
\item $x = ml \,,\, N=nt \,,\, D=\frac{1}{2}nl^2 \,,\, x_1=al $, ahol $l$ $1$ lépés hossza, $n$ a lépések száma egységnyi idő alatt
\item  $W_a(m,N,a) = \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)} \left[ \exp\left(\frac{-m^2}{2N}\right)  -  \exp\left(\frac{-(2a-m)^2}{2N}\right) \right] $
\item $a(a,N) = \frac{a}{N} \sqrt{\left(\frac{2}{\pi N}\right)} \exp\left(\frac{-a^2}{2N}\right)$
\pause
\item  $W_a(x,t,x_1)  = \sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi D t}\right)} \left[ \exp\left(\frac{-x^2}{4 D t}\right)  -  \exp\left(\frac{-(2x_1-x)^2}{4 D t}\right) \right] $
\item $a(x_1,t) = \frac{x_1}{nt} \sqrt{\left(\frac{1}{\pi D t}\right)} \exp\left(\frac{-x_1^2}{4 D t}\right)$
\pause
\item $q(x_1,t) \Delta t = \frac{1}{2} a(x_1,t)n \Delta t \Rightarrow  q(x_1,t) = \frac{x_1}{t} \sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi D t}\right)} \exp\left(\frac{-x_1^2}{4 D t}\right)$
\pause
\item $  q(x_1,t) = -D \left(\frac{\partial W_a }{\partial x} \right)_{x=x_1}$
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}[t]{Összefoglalás}
\begin{itemize}
\item $D = \frac{1}{2} n l^2$
\item Véletlen bolyongás:\\ $W(x,t) = \sqrt{\left(\frac{1}{4\pi D t}\right)} \exp\left(\frac{-x^2}{4 Dt}\right) $
\pause
\item  Visszaverő határfeltétel: \\ $W_r(x,t,x_1) = \sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi D t}\right)} \left[ \exp\left(\frac{-x^2}{4 D t}\right)  +  \exp\left(\frac{-(2x_1-x)^2}{4 D t}\right) \right] $
\pause
\item Elnyelő határfeltétel: \\ $W_a(x,t,x_1)  = \sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi D t}\right)} \left[ \exp\left(\frac{-x^2}{4 D t}\right)  -  \exp\left(\frac{-(2x_1-x)^2}{4 D t}\right) \right] $
\item $a(x_1,t) = \frac{x_1}{nt} \sqrt{\left(\frac{1}{\pi D t}\right)} \exp\left(\frac{-x_1^2}{4 D t}\right)$
\item $ q(x_1,t) = \frac{x_1}{t} \sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi D t}\right)} \exp\left(\frac{-x_1^2}{4 D t}\right)$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Hivatkozások}
\begin{itemize}
\item S. Chandrasekhar,\textit{Stochastic Problems in Physics and Astronomy},  Rev. Mod. Phys. 15, 1–89 (1943)
\item P. R\'ev\'esz, {\it Random walk in random and non-random environments}, World Scientific, Singapore (1990)
\end{itemize}
\end{frame}

\end{document}

