%\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\documentclass[a4,landscape]{seminar}
%\documentclass[a4]{seminar}

\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage{letterspace}
\usepackage{amstext}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{array}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[mathscr]{eucal}
%\usepackage{eepic}
%\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{color}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{semcolor}
\usepackage{psfrag} % Replace letters in figs by latex

 \tolerance=10000
 \graphicspath{{./figs/}}
 \setkeys{Gin}{width=0.7\linewidth}


\twoup[1] % 2 on 1 portrait page -- for better reading and printing

\newcommand{\BM}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
% dolt vastag, vektor
% (matrixra hasznald a \bf allo vastag tipust)
\newcommand{\Bm}[1]{\mbox{\scriptsize\boldmath$#1$}}
%vektor az indexben
\newcommand{\LE}[1]{{\tc{blue}{$#1$}}} %in line eq.
\newcommand{\EQ}[1]{\tc{blue}{\begin{equation}#1\end{equation}}}
                                % eq. kornyezet,
                                % hatranya, hogy esc-q (format
                                % paragraph) osszemossa a
                                % kornyezo szoveges bekezdessel. Ezt
                                % úgy védhetjük ki, hogy sort emelünk
                                % az \EQ előtt és után.

\newcommand{\EQS}[1]
{\tc{blue}{\begin{equation}\begin{split}#1\end{split}\end{equation}}}
% tört eq. kornyezet
\newcommand{\EQA}[1]{\tc{blue}{\begin{eqnarray}#1\end{eqnarray}}}
                     % eqnarray kornyezet,
\newcommand{\nn}{\nonumber}
\newcommand{\D}{\mathrm d} % integral ill. derrivalt d-je
\newcommand{\DD}{\mathrm D}
% palyaintegral ill. kovarians derivalt D-je
\newcommand{\DER}[2]{\frac{\D #1}{\D #2}} % parcialis derivalt
\newcommand{\PAR}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
% parcialis derivalt
\newcommand{\DEL}[2]{\frac{\delta #1}{\delta #2}} % variacio
\newcommand{\NAB}{\BM \nabla}
\newcommand{\TO}{\ \ \ \Rightarrow \ \ \ } % ``kovetkezik'' jel
\newcommand{\spc}{, \ \ \ \ } % terkoz
\newcommand{\FA}[1]{\phantom{#1}}
% az argumentum hosszat uresen hagyja ki
\newcommand{\Ee}{Einstein-egyenletek}  % pl. roviditesre
\newcommand{\MEG}[1]{\textbf{Megoldás.} #1} % Orai feladat megoldasa
\newcommand{\INT}[2]{\int_{#1}^{#2}} % kicsit rovidebb integralas
\newcommand{\NV}[2]{\left( \begin {array}{c}#1\\\noalign{\medskip}{\BM
        #2}\end {array} \right)} % negyesvektor
\newcommand{\ANY}[2]{\underset{#1}{\underset{\uparrow}{#2}}} %math
                                %formatumos magyarazat az egyenlet
                                %alatt, nyillal
\newcommand{\ch}{\mathrm {ch}} % magyar hiperbolikus fgv-ek
\newcommand{\sh}{\mathrm{sh}}
\newcommand{\TANH}{\mathrm t\mathrm h}
% angolszasz  hiperbolikus fgv-ek
\newcommand{\CTANH}{\mathrm c \mathrm t\mathrm h}
\newcommand{\OO}{\H o} %akinek kell, magyar hosszu \H o
\newcommand{\av}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}  %% atlag
\newcommand{\NK}[2]{ \binom{#1}{#2}} %N alatt a K
\newcommand{\NKs}[2]{\binom{#1}{#2}}  %N alatt a K

\newcommand{\ns}{\newslide}  % diat lapoz
\newcommand{\tc}{\textcolor} % szinezi a szoveget
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\parindent}{0pt}

\setlength{\slidewidth}{10.9in} % szelesebb diakra tobb fer
\setlength{\slideheight}{6.8in}
\renewcommand{\slidetopmargin}{0in}
\renewcommand{\slidebottommargin}{0.2in}
\raggedslides[0pt]
\extraslideheight{10pt}
\slideframe{scdouble} % kettos diakeret
\numberwithin{equation}{section} % fejezet szerinti egyenletszamozas

\definecolor{dgreen}{rgb}{0,0.75,0}
% sotetebb szinek jobban latszanak
\definecolor{figgreen}{rgb}{0.21,0.5,0.22}
\definecolor{dred}{rgb}{0.6,0,0}
\definecolor{dcyan}{rgb}{0,0.5,0.5}
\definecolor{MB}{rgb}{0.1,0.21,0.44} %midnight blue


\newtheorem{hf}{\textbf{Házi feladat}}[section]
\newcommand{\HF}[1]{{\hf \tc{MB}{#1}}}   % Hazi feladat,
             % a fejezet szamat kapja, sotetkek.
\newcommand{\figcap}[1]{\caption{\tc{dred}{#1}} } %Abra alairas
\newtheorem{fel}{Gyakorló feladat}[section]
\newcommand{\GF}[1]{{\fel \tc{MB}{#1}}}   % Orai feladat


\begin{document}
\begin{slide}
% eleg egy a dokumentumban, azutan \ns-sel kezdunk uj diat.

\begin{center}


\tc{red}{\LARGE  EXTRÉM STATISZTIKÁK \\ ÉS FIZIKAI
  ALKALMAZÁSAIK }

\vspace{1cm}
Speciálkollégium \\
2010-2011 II. félév\\

3-6.\ előadás


\end{center}

\ns

\tableofcontents

\pagestyle{plain}

\ns


\section{\tc{dgreen}{Bevezető}}

Ezeken a diákon a valószínűségszámítás néhány elemét
idézzük fel, ezzel az extrém érték statisztikák  elméletéhez
szükséges matematikai hátteret alapozzuk meg.

~A gyakorló feladatok általában könnyűek,  nem szükséges megoldásukat beadni, de
azokat a vizsgán kérdezhetem.   A házi feladatok megoldása beadható, ez a vizsga részleges teljesítésének számít.

~A diákon hibákat felfedező hallgatók a vizsgán kedvezőbb elbírálásra
számíthatnak.

~Felhasznált irodalom: [1]  Stuart Coles: An Introduction to
Statistical Modeling of Extreme Values, Springer Series in Statistics,
2001 (alkalmazott statisztikai megközelítés); [2] Rényi Alfréd:
Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó (matematika tankönyv számos
példával); [3] Filip Lindskog: The Mathematics and Fundamental Ideas
of Extreme Value Theory,
http://www.math.ethz.ch/$\sim$embrechts/RM/evtnotes.pdf (matematikai
kurzus jegyzet, rendkívül lényegretörő).

\section{\tc{dgreen}{Emlékeztető: A valószínűségszámítás és a
    statisztikus inferencia alapjai}}


\subsection{\tc{dgreen}{Sűrűség-, és eloszlásfüggvények egy folytonos változó esetén}}

\subsubsection{\tc{dgreen}{Sűrűségfüggvény}}

% \LE{P(x)}: \tc{dcyan}{Probability density function (PDF)} -- fizikai
% szövegben gyakran eloszlásfüggvénynek nevezik. Az \LE{[a,b]}
% intervallum valószínűsége (mértéke)
%
% \EQ{\text{Prob}(a\leq x \leq b) = \int_a^b \D x\,  P(x)}
%
% Diszkrét érték véges súllyal: ha \LE{x_0} valószínűsége \LE{0<p_0\leq 1},
% akkor a PDF-ben fellép \LE{p_0\delta(x-x_0)}.  Ha pl. az \LE{a}-ban
% delta-csúcs áll, akkor az integrálás alsó határa \LE{a-0}.
% Az eloszlás \tc{dcyan}{tartó}ja, ahol a PDF nem zérus.
%
% Változócsere: \LE{y=y(x)}, invertálható \LE{x=x(y)},  ahonnan
% \EQ{P_y(y)|\D y|=P_x(x)|\D x| \TO    P_y(y) = P_x(x(y))\left|
%     \DER{x(y)}{y} \right|.  }
{\LE{P(x)}}: Valószínűség sűrűség (probability density function, PDF) -- fizikai
szövegben gyakran eloszlásnak (distribution) nevezik. Az \LE{[a,b]}
intervallum valószínűsége (mértéke)
 \EQ{\text{Prob}(a\leq x \leq b) = \int_a^b \D x\,  P(x)\label{eq:prob-pdf}}
{\em Diszkrét érték véges súllyal}:  ha \LE{x_0} valószínűsége \LE{0<p_0\le 1},
akkor a PDF-ben fellép  \LE{p_0\delta(x-x_0)}.

Ha pl.\ az   \LE{a}-ban delta-csúcs áll,
akkor a (\ref{eq:prob-pdf}) integrálás alsó határa  \LE{a-0}.

Ha a végpontokban a PDF síma, akkor mindegy, hogy az intervallum zárt vagy nyílt.

Az eloszlás \tc{dcyan}{tartó}ja, ahol a PDF nem zérus.

Változócsere: ha ismerjük \LE{x} PDF-jét, akkor annak valamely \LE{y(x)}
függvényének PDF-jét is kifejezhetjük.  Legyen \LE{y=y(x)} invertálható,
\LE{x=x(y)},  ahonnan
\EQ{P_y(y)|\D y|=P_x(x)|\D x| \TO    P_y(y) = P_x(x(y))\left|
    \DER{x(y)}{y} \right|.  }
Formálisan így is eljárhatunk
\EQ{P_y(y)=\int \!\D x \,\delta(y-y(x)) P_x(x) \TO    P_y(y) = P_x(x(y))\left|
    \DER{x(y)}{y} \right|.  }
A "Dirac deltás" kifejezés az általános receptje annak, hogyan írjuk fel leszármaztatott változók eloszlását.  Statisztikus fizikai számításokban gyakran alkalmazzuk.

\GF{Terjesszük ki a fenti formulát, ha \LE{y=y(x)} nem invertálható, de szakaszonként az!}

~Általában nem fogjuk jelölni az indexet, \LE{P(x)} az \LE{x} változó
PDF-je.

Várható értékek: \LE{\av{f(x)}= \int_{-\infty}^\infty \D x\, P(x)
  f(x)}, norma \LE{\av{1}=1}.

\subsubsection{\tc{dgreen}{Integrált eloszlásfüggvény}}

\tc{dcyan}{Integrated probability distribution function (IPDF)}, fizikai
szövegekben integrált vagy kumulatív eloszlásnak hívják, matematikai szövegben
eloszlásfüggvény, szokásosan
\LE{F(x)}-szel jelölik.  Nálunk jelölése
 \EQ{M(x) = \int_{-\infty}^x \D y\,  P(y),}
a \LE{[-\infty,x]} intervallum valószínűsége (mértéke).  Változócsere (egy-egy értékű)
\LE{M_y(y) =  M_x(x(y))}.
Nyilván
\EQ{\text{Prob}(a\leq x \leq b) = M(b) - M(a).}  Ha a PDF
delta-csúcsot tartalmaz, annak helyén az IPDF ugrik.

A várható érték számítható \LE{M(x)}-szel is.  Legyen a tartó a pozitív
féltengely és \LE{f(x)} deriválható (a felírt integrálok végességét feltesszük)
 \EQS{\av{f(x)} &= \lim_{X\to\infty}  \left\{\int_0^X \D x\,  M^\prime(x)f(x) =
   \left. M(x)f(x) \right|_0^X -\int_0^X \D x\,  M(x)f^\prime(x)\right\} \\ &=
   \lim_{X\to\infty}  \left\{ f(X) -\int_0^X \D x\,  M(x)f^\prime(x)
     \right\} \\ &\hspace{-8pt}= \lim_{X\to\infty} \left\{\hspace{-2pt}\int_0^X
\hspace{-8pt} \D x\,f^\prime(x) +f(0)   -\hspace{-2pt}\int_0^X \hspace{-8pt}\D
x\,  M(x)f^\prime(x)
     \right\}= f(0) + \hspace{-2pt}\int_0^\infty\hspace{-8pt} \D x\, (1- M(x))
f^\prime(x). }
%  \EQS{\av{f(x)} &= \lim_{X\to\infty}  \left\{\int_0^X \D x\,
% M^\prime(x)f(x) =
%    \left. M(x)f(x) \right|_0^X -\int_0^X \D x\,
% M(x)f^\prime(x)\right\} \\ &=
%    \lim_{X\to\infty}  \left\{ f(X) -\int_0^X \D x\, M(x)f^\prime(x)
%      \right\} = f(0) + \int_0^\infty \D x\, (1- M(x)) f^\prime(x)}
Pl.\ az \LE{x} várható értéke \LE{\av{x}= \int_0^\infty \D x\,
  (1-M(x))}.  Noha a levezetéshez használtuk, hogy \LE{M(x)}
deriválható, a végső képlet általánosabban igaz.
\begin{figure}\begin{center}
    \includegraphics[width=4.5cm]{m_x.eps}\\
    \figcap{Az integrált eloszlás grafikai jelentése.  Ha a tartó a
      pozitív félegyenes, akkor a jelölt terület, ha véges, az \LE{x}
      várható értéke.}
    \label{mx}
  \end{center}
\end{figure}
\GF{Írjuk fel a várható értéket az IPDF-fel, ha az eloszlás tartója a valós
tengely!}

\subsection{\tc{dgreen}{Momentumok és kumulánsok}}

\subsubsection{\tc{dgreen}{Generátor (karakterisztikus) függvények}}


\tc{dcyan}{Momentum generátor} (a PDF Fourier-transzformáltja)

\EQ{\Phi(z) = \av{e^{izx} } \spc
  \left.\DER{^n\Phi(z)}{(iz)^n}\right|_{z=0} = \av{x^n} =m_n}
az \LE{n}.\ momentum, ha ilyen létezik. Nyilván \LE{\Phi(0)=1\Rightarrow
  m_0=1}.  Ha Taylor-sorba fejthető, akkor
\EQ{\Phi(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{m_n}{n!} (iz)^n.}  Ha az
\LE{n\leq n_0} momentumok léteznek, de az \LE{n_0+1}-ik divergál,
akkor a generátor \LE{z^{n_0}} rendig a részletösszeggel közelíthető.

\tc{dcyan}{Kumuláns generátor}

\EQ{ \Psi(z) = \ln \Phi(z) \ANY{\text{ha Taylor}}{=} \sum_{n=1}^\infty
  \frac{c_n}{n!} (iz)^n} Vegyük észre, hogy \LE{\Psi(0)=0}.

\subsubsection{\tc{dgreen}{A momentumok és a kumulánsok közötti relációk}}

A generátorfüggvények Taylor-sorainak együtthatói között összefüggések találhatók. Az első három indexre könnyen beláthatjuk, hogy

\EQA{\Phi(z)=e^{\Psi(z)}&\Rightarrow& m_1=c_1\spc m_2=c_2 + c_1^2 \spc m_3= c_3 + 3 c_2 c_1 +c_1^3,\,
\dots\label{eq:kum_mom}\\ \Psi(z)=\ln{\Phi(z)}&\Rightarrow& c_1=m_1\spc c_2=m_2 - m_1^2 \spc c_3= m_3 - 3 m_2
m_1 +2m_1^3,\, \dots
\label{eq:mom_kum}}
Magasabb indexekre mindez folytatható, de némi fáradsággal az általános reláció is felállítható.  Ezt formula helyett grafikusan szemléltetjük \aref{fig:graphs}.\  ábrával.

% \EQ{c_1=m_1\spc c_2=m_2 - m_1^2 \spc c_3= m_3 - 3 m_2 m_1 +2m_1^3,\,
% \dots
% \label{eq:mom_kum}.}
 \begin{figure}\begin{center}
     \includegraphics[width=10cm]{graphs.eps}\\
     \figcap{A momentumok és kumulánsok relációjának grafikus illusztrálása. Az \LE{n} pontból álló halmaz segítségével az \LE{m_n} momentumot kifejezzük a \LE{c_k, \, k=1,\dots n} kumulánsokkal. A \LE{k} pontot
tartalmazó keret \LE{c_k}-t jelöli, az \LE{n} pont egy partíciója pedig az
itt fellépő \LE{c_k}-k szorzatának feleltetendő meg.   Az \LE{n}. momentum az
\LE{n} pont összes lehetséges partíciója összegeként áll elő.  A kombinatorikai
együtthatók azt adják meg, hogy megkülönböztethető pontok esetén hányféleképp
kapható ugyanolyan partíció.  Harmadrendig (\ref{eq:kum_mom}) adódik. }
\label{fig:graphs}
  \end{center}
\end{figure}

\HF{Fejezzük ki az \LE{n}-edik momentumot a kumulánsokkal és igazoljuk \aref{fig:graphs}.\ ábrán bemutatott receptet. (30\% )}

\subsubsection{\tc{dgreen}{Különleges momentumok}}

A centrális momentumok \LE{\bar m_n=\av{(x-\av{x})^n}}.  Nyilván \LE{\bar
m_1=0}, továbbá könnyen látható, hogy \LE{n=2,3} mellett ezek éppen a \LE{c_n} kumulánsok.

\GF{ Állítsuk elő a \LE{\bar m_4} és a \LE{c_4} mennyiségeket a momentumokkal.  Ennek révén beláttuk, hogy általában különböznek.}

Matematikai szövegekben szokásos jelölés: \tc{dcyan}{átlag}
\LE{\text{E}(X) = \av{x} = c_1}, \tc{dcyan}{variancia}
  \LE{\text{Var}(X) = \av{(x- \av{x})^2} = c_2}.  Az
  \LE{x-\av{x}} átlaga zérus, a hozzá tartozó kumuláns
  generátorból hiányzik az \LE{n=1} tag, egyébként azonos az
  \LE{x}-ével.


\tc{dcyan}{Szórás}: \LE{c_2^{1/2}},
\tc{dcyan}{relatív szórás}: \LE{\frac{c_2^{1/2}}{c_1}},
\tc{dcyan}{ferdeség}, \tc{dcyan}{skewness}:
\LE{\beta_1=\frac{c_3}{c_2^{3/2}}},
\tc{dcyan}{kurtosis}:
\LE{\beta_2=\frac{c_4}{c_2^2}+3 = \frac{\av{(x-\av{x})^4}}{c_2^2}}.

\subsubsection{\tc{dgreen}{Nemnegatív változók generátor függvénye}}

Ha az \LE{x} véletlen változó nemnegatív, akkor a Fourier transzformációval kapott momentum generátor (\LE{\Phi(z)}) helyett célszerű a valós Laplace transzformáltat használni
 \EQ{ G(s) = \left\langle  e^{-sx} \right\rangle.}
Formálisan \LE{G(s) = \Phi(is)}, néhol csak ezt hívják karakterisztikus függvénynek.  Nyilván
\EQ{m_k = \left\langle  x^k \right\rangle =(-1)^n G^{[n]}(0).}
  A kumuláns generátor \LE{H(s)=\ln G(s)= \Psi(is)}
\EQ{c_k =(-1)^n H^{[n]}(0).}

\subsubsection{\tc{dgreen}{Összeg eloszlása}}
\label{sec:osszeg}

Vizsgáljuk \LE{x=x_1+x_2} eloszlását.
\EQ{P(x) = \int \D x_1 \D x_2 \, \delta(x-x_1-x_2) P_1(x_1) P_2(x_2) =
  \int \D y P_1(x-y) P_2(y) = (P_1 \ast P_2) (x),}
ez a konvolúció. Vegyük észre, hogy \LE{P_1 \ast P_2= P_2 \ast P_1}.

\GF{Mutassuk meg, hogy a  momentum
generátorok  szorzódnak, \LE{\Phi(z) = \Phi_1(z) \Phi_2(z)}.}

A kumuláns generátorok ebből következően  \LE{\Psi(z) = \Psi_1(z)+ \Psi_2(z)}.


\subsection{\tc{dgreen}{Diszkrét változók --- az említés szintjén}}

Diszkrét értékkészletű esemény ($k$) és valószínűsége

\EQ{k \sim p_k\spc \av{f_k} = \sum_k f_k p_k.}
PDF-ként előállítva Dirac delták sorát kapjuk

\EQ{P(x)= \sum_k p_k \delta(x-k).}

Generátor pl.\

 \EQ{ G(s) = \sum_k p_k e^{-sk}\spc  (-1)^nG^{[n]}(0)  = \av{k^n}.}
Kockavetés generátora: \LE{G(s)=\frac 16 (e^{-s}+e^{-2s}+\dots +e^{-6s})= \frac {e^{-s}}{6}
   \frac{1-e^{-6s}}{1-e^{-s}}\spc \av{k} = 7/2}.

\subsection{\tc{dgreen}{Néhány nevezetes eloszlás}}

\subsubsection{\tc{dgreen}{Binomiális}}

\LE{n} független bináris esemény, pl. \LE{p} valószínűséggel ``fej''
és \LE{1-p}-vel ``írás'', esetén annak a valószínűsége, hogy \LE{k}
alkalommal kapunk ``fej''-et
\EQ{p_k=\NK{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\spc \sum_{k=0}^n p_k =1.}
Momentum generátor
\EQA{G(s)&=&\sum_{k=0}^n \NK{n}{k} e^{-sk}\, p^k (1-p)^{n-k}= (1-p(1-e^{-s}))^n,}
ahonnan a kumuláns generátor
\EQA{H(s)&=&\ln G(s)=n \ln (1-p(1-e^{-s})).}
A \LE{k} várható értéke
\EQ{-G'(s)=n\frac{pe^{-s}}{1-p(1-e^{-s})} \TO
    c_1=\av{k}=-G'(0)=np.}
A második kumuláns
\EQ{G''(s)=n\frac{p(1-p)e^{-s}}{(1-p(1-e^{-s}))^{2}} \TO
  c_2=\av{k^2}-\av{k}^2=np(1-p).}Vegyük észre, hogy nagy \LE{n}
mellett az átlag \LE{c_1=O(n)}, az akörüli ingadozások
\LE{\sqrt{c_2}=O(\sqrt{n})}, a relatív szórás
\LE{\frac{\sqrt{c_2}}{c_1}=O(n^{-\frac{1}{2}})},  azaz az
eloszlás az átlag  skáláján kicsúcsosodik.

\subsubsection{\tc{dgreen}{Poisson}}

A binomiálisból az \LE{n\to \infty\spc p\to 0\spc  np\to \lambda} átmenettel
kapjuk
\EQ{\NKs{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{n^k}{k!} p^k (1-p)^n
  \approx  \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}=p_k.}
Pl. hosszú felezési idejű (\LE{p\to 0}) elem nagyszámú (\LE{n\to
  \infty}) atomjának bomlását detektáljuk meghatározott idő alatt.  Általában
egymástól függetlenül bekövetkező események számának eloszlása adott időn belül
Poisson.

\GF{Állítsuk elő a $G(s)=\left\langle e^{-sk} \right\rangle$
  generátort, s mutassuk meg, hogy ugyanezt kapjuk a
  binomiális eloszlás megfelelő limeszéből is.  Igazoljuk,
  hogy a Poisson eloszlás mindegyik kumulánsa egyaránt
  \LE{c_j\equiv\lambda}!}

\subsubsection{\tc{dgreen}{Gamma}}

A formula azonos a Poissonéval, csakhogy a paraméter és a
valószínűségi változó szerepe felcserélődik.  Az egész \LE{k} helyett
megengedjük a valós \LE{a>0} paramétert, \LE{x>0} pedig a valószínűségi
változó: \EQ{P(x;a) =
  \frac{x^{a-1}}{\Gamma(a)} e^{-x}.\label{eq:gamma}} A fenti
sűrűségfüggvény normált! A függvénytáblázatokban szokásos alak
\LE{x} helyett annak lineáris transzformáltját tartalmazza, ez
két további paramétert enged meg. A karakterisztikus függvény
\EQ{G(s) = \left\langle e^{-sx} \right\rangle =
  (\Gamma(a))^{-1}\int_0^\infty \D x\, e^{-x(1+s)}x^{a-1} =
  (1+s)^{-a},} ahonnan a kumuláns generátor
\LE{H(s)=-a\ln(1+s)} és a kumulánsok \LE{c_n=a (n-1)!}.
Vegyük észre a következő tulajdonságot: ha \LE{x_1} és
\LE{x_2} rendre  \LE{a_1} és \LE{a_2} paraméterű Gamma
eloszlásúak, akkor \LE{x_3=x_1+x_2} az  \LE{a_3=a_1+a_2}
paraméterű Gamma eloszlásnak tesz eleget.

\GF{Számítsuk ki a Gamma eloszlás \LE{m_n} momentumait!}


\subsubsection{\tc{dgreen}{Gauss (normál)}}\label{sec:normal}

A másodiknál nagyobb kumulánsai zérusok, azaz \LE{\Psi(z)} másodfokú,
ezért
\LE{\Phi(z)} Gauss-függvény,  s ennek \LE{P(x)}
Fourier-transzformáltja  is
Gauss. Minden magasabb momentum kifejezhető az első kettővel.

\EQA{P(x) &=& \frac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -
    \frac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right)=N(x;m,\sigma),\\
    \Psi(z)  &=& imz - \frac 12 \sigma^2 z^2, \\
    M(x;m,\sigma)  &=& \int_{-\infty}^x \D y\, N(y;m,\sigma)= \frac 12
    \left[ \text{erf}  \left( \frac{x-m}{\sigma\sqrt{2}}\right)
+1\right].}
Az \LE{m=0,\ \sigma=1} eset a sztenderd normál  eloszlás.
\begin{figure}\begin{center}
    \includegraphics[width=4cm]{normal_mom.eps}\\
    \figcap{Ha minden kumuláns zérus kivéve \LE{c_2}, akkor a
      \ref{fig:graphs}. ábrán illusztrált eljárás alapján a momentumok
      \LE{m_{2n}=\av{x^{2n}} = (2n-1)!!\,c_2^n}.}
\label{fig:normal_mom}
  \end{center}
\end{figure}
\GF{Mutassuk meg, hogy a binomiális eloszlásból, tetszőleges
  \LE{0<p<1} mellett, az \LE{n,k\to\infty} limeszben kapjuk az
\LE{m=np,
    \ \sigma^2 = np(1-p)} Gauss-függvényt (Moivre \& Laplace).
(1) Használjuk a
Stirling  formulát és tegyük fel, hogy
\LE{z=k-np=O(\sqrt{n})}!  E
feltétel jogosságát vizsgáljuk utólag. (2) Használjuk a
  kumuláns generátort, amely nagy \LE{n} mellett közelíthető a minimuma körüli értékeivel.
  }

\subsubsection{\tc{dgreen}{$\chi^2$ (khi négyzet)}}

Ha \LE{x_1, \dots , x_k} (sztenderd) normál eloszlású, akkor \LE{z=
  x_1^2+ \dots + x_k^2} eloszlása a  \LE{\chi_k^2}. Ez a statisztikus
modellezés szempontjából fontos, a hibák négyzetösszegének eloszlását
adja, ha az egyes hibák gaussiak.

\LE{k=1\spc z=x^2, \, z\geq 0}:
\EQA{
    M_1(z)  &=&
    \text{erf}  \left( \sqrt{\frac z2} \right) \\
P_1(z) &=& \frac {1}{\sqrt{2\pi z}} \exp\left( -
    \frac z2  \right),}
a karakterisztikus függvény pedig
\EQ{G_1(s)=\av{e^{-sz}}=\int_0^\infty P_1(z)e^{-sz}dz=(1+2s)^{-1/2}.}
\LE{k>1}: A \LE{k=1} eloszlás önmagával vett  konvolúciójával kapható.  A
generátorfüggvény
\EQ{G_k(s)=G_1^k(s)=(1+2s)^{-k/2}.}
\GF{Mutassuk meg, hogy a  \LE{\chi_k^2} eloszlás azonos a
  \LE{\frac k2} paraméterű Gamma eloszlással az \LE{\frac x2}
változóban. }

\LE{k\to \infty}: később látjuk, hogy
Gauss-hoz tart a megfelelő skálán.


\subsubsection{\tc{dgreen}{Gausshoz tartó eloszlások}}

Különböző eloszlások tarthatnak a gaussihoz, midőn valamely
paraméter  limeszhez tart, s ezzel egyidejűleg megfelelő
lineáris változócserét végzünk.  A kumuláns sorfejtésből
könnyen észrevehető, ha az eloszlás a gaussihoz tart.

\paragraph{Binomiális: $n\to  \infty$}  Vezessük be az \EQ{x=\frac{k-\left\langle k\right\rangle} {\sqrt{n}}=\frac{k}{\sqrt{n}}-p\sqrt{n}} változót, s menjen \LE{n,k\to \infty}.  Az \LE{x} kumuláns generátora \EQA{\Psi_x(q)&=\ln\left\langle   e^{iqx}\right\rangle=-iqp\sqrt{n}+\ln\left\langle  e^{iqk/\sqrt{n}}\right\rangle=-iqp\sqrt{n}+H_k(-iq/\sqrt{n})\nn \\ &= -iqp\sqrt{n} + n\ln\left[ 1-p\left( 1-e^{iq/\sqrt{n}}\right) \right] = -p(1-p) \dfrac{s^2}{2}+O(n^{-\frac{1}{2}}) .}
Tehát a határeloszlás az \LE{N(x;0,\sqrt{p(1-p)})} normál.
\GF{Mutassuk meg, ha eredetileg az \EQ{x=\frac{k-c_1}
    {\sqrt{c_2}}} új változót vezettük volna be, akkor a
  sztenderd normál lenne a határeloszlás.}

\paragraph{Gamma: $a\to \infty$ }

Tudjuk, hogy \EQ{H_x(s)=-a\ln(1+s)=a\sum_{n=1}^\infty \frac{(-s)^n}{n}.}
Bevezetve az \EQ{y=\frac{x-c_1}{\sqrt{c_2}} = \frac{x-a} {\sqrt{a}}} új változót, nyerjük \EQ{\Psi_y(q)=H_x(-iq/\sqrt{c_2})-iqc_1/\sqrt{c_2}=a\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n} \left( \frac{iq}{\sqrt{a}}\right) ^n.}  A nagy \LE{a} limeszben tehát a sztenderd normál adódik:  \EQ{\Psi_y(q)= -\frac{q^2}{2}.}

\paragraph{Chi-négyzet ($\chi_k^2$): $k\to \infty$ }

Miután a \LE{\chi_k^2} az \LE{a=k/2} paraméterű Gamma
eloszlással egyenlő, a nagy \LE{k} limeszben az
\EQ{y=\frac{x-c_1}{\sqrt{c_2}}} változóban a sztenderd normál
eloszlás

\subsection{\tc{dgreen}{Szimultán és feltételes eloszlások}}

Szimultán (joint, multivariate) eloszlás:  \LE{P(x_1,  \dots ,
x_n)=P(\BM{x})}.

Független változók: \LE{P(\BM{x}) = \prod_{i=1}^{n}
  P_i(x_i) }.

Független, azonos eloszlású ({\tc{dcyan}{independent, identically distributed,
i.i.d.}})
változók: \LE{P_i(x)\equiv P(x)}.

Várható értékek:  \LE{\av{f(\BM{x})} = \int \D^n x\, f(\BM{x})
P(\BM{x})}.

Kovariancia:  \LE{\sigma_{ij} = \av{x_i\,x_j}-\av{x_i}\av{x_j}}.

Redukált eloszlás (\LE{n}-ről \LE{k} változóra):
\LE{P(x_1,\dots ,x_k) = \int \D x_{k+1}\dots \D x_n \, P(\BM{x})}.

Egy változóra a marginális eloszlás:
\LE{P(x_k) = \int \D x_{1}\dots\D x_{k-1}\D x_{k+1}\dots \D x_n \, P(\BM{x})}.

Feltételes eloszlás (\LE{x_1} eloszlása, ha \LE{x_2} adott):
\EQ{P(x_1|x_2) =   \frac{P(x_1,x_2)}{\int \D x_1\, P(x_1,x_2) } =
  \frac{P(x_1,x_2)}{P(x_2) }.}
A \LE{P(x_1|x_2)}-ben  \LE{x_1} valószínűségi
változó, \LE{x_2} pedig paraméter, ezért az előbbiben normált \LE{\int P(x_1|x_2)\D x_1=1}.

~ \tc{red}{Minden eloszlás valójában feltételes,
legfeljebb természetesnek tekintjük s ezért nem mondjuk ki  a feltételt.}


\subsection{\tc{dgreen}{Határeloszlások}}


~ Eddig is láttunk határeloszlásokat: a Poisson és a Gauss a
binomiálisból bizonyos limeszekben adódtak.  Továbbá a bevezetőben bemutatott extrém érték eloszlások is határesetként adódtak megfelelő skálázással.

~ Határozzuk meg az \LE{X=\sum_{i=1}^nx_i} összeg eloszlását, ha az \LE{x_i}-k
\tc{dcyan}{i.i.d.\ változók}, és 3.\  kumulánsuk véges.  A közös kumuláns
generátor  tehát harmadrendig

\EQ{\psi(z)=ic_1z-\frac 12 c_2z^2-\frac 16 ic_3z^3+\dots .}

Korábban
láttuk, hogy az összeg kumuláns generátora az egyes tagok kumuláns
generátorainak összege (ld.\ \ref{sec:osszeg}. fejezet)
\EQ{\ln \av{ e^{iXz}} = \Psi(z) = n \psi(z) = nc_1iz - \frac n2 c_2
z^2 - i \frac n6 c_3 z^3 + \dots \,.}
Láthatóan \LE{ \av{X}=nc_1 = n \av{x},\ \text{Var}(X) = nc_2 = n
  \text{Var}(x)}.  Vezessük be az  \EQ{Y=\frac{X-nc_1}{\sqrt{nc_2}}}
új változót, ennek generátorát úgy kapjuk, hogy \LE{\Psi}-ből  az \LE{n=1} tagot
elhagyjuk és  áttérünk a \LE{w=z\sqrt{nc_2}} változóra.  Ekkor az
\LE{n\to\infty} limeszben
\EQ{\ln \av{ e^{iYw}} =\Psi(w) = - \frac 12 w^2 - \frac i6
\frac{nc_3}{(nc_2)^{3/2}}w^3
  + \dots  \quad \to\quad -\frac 12 w^2 ,}
azaz a sztenderd normál eloszlást kaptuk.

A fentiekben azt mutattuk meg, hogy az \LE{X} változó "ferdeség"-e zérushoz tart.

A levezetéshez valójában elegendő azt feltenni, hogy a kumuláns generátor másodrendig
sorbafejthető, s a maradék magasabb rendű.

~Tájékoztatásul a matematikai irodalomból idézzük annak szükséges és
elegendő feltételét, hogy azonos eloszlású, független változók összege
határesetben gaussi legyen:  a \LE{P(x)} PDF-re teljesüljön, hogy
\LE{x\to \infty} mellett
\EQ{ \frac{x^2\left(\int_{-\infty}^{-x}+\int_{x}^{\infty}\right) P(y)
\D y} {\int_{-x}^{x} y^2 \, P(y) \D y} \to 0.
\label{eq:clt}}
\HF{(i) Mutassuk meg, hogy ha a második momentum véges, akkor
(\ref{eq:clt}) fennáll. (ii) Ha a PDF nagy \LE{y} mellett \LE{y^{-3}} szerint
cseng le, akkor nincs második momentum, de  (\ref{eq:clt}) teljesül.  Határozzuk
meg a kumuláns generátor vezető tagját (az egyszerűség kedvéért tegyük, fel,
hogy az első kumuláns zérus), s próbáljuk meg a határeloszlást a fenti
levezetéssel analóg módon kiszámítani. (15\%)}

~ {\tc{dcyan}{Különböző eloszlású, független változók}}
összege: a \LE{j}.\ eloszlás kumulánsai legyenek \LE{c_{j,n}},
ekkor \EQ{\av{X}=\sum_{j=1}^n c_{j,1},\ \text{Var}(X) =
  \sum_{j=1}^n c_{j,2},} s a magasabb kumulánsokat is
hasonlóan kapjuk (ha léteznek).  A \LE{\Psi}-ből ``elhagyjuk''
az átlagot és skálázunk \LE{w=z\sqrt{\text{Var}(X)}} szerint.
A kumuláns generátor {\EQ{\Psi(w) = - \frac 12 w^2 - \frac i6
    \frac{\sum_j c_{j,3}}{(\sum_j c_{j,2})^{3/2}}w^3 + \frac
         {1}{24} \frac{\sum_j c_{j,4}}{(\sum_j
           c_{j,2})^{2}}w^4 + \dots.}}  Innen a sztenderd
normál eloszlást kapjuk, ha az \LE{n\to\infty} limeszben a
kvadratikusnál magasabb tagok zérushoz tartanak.
Ljapunov-feltétel: a második kumulánsok átlaga pozitív és a
harmadiké nem divergál ("túl erős", elégséges de nem
szükséges), {\EQ{ \frac 1n \sum_j c_{j,2}\to C_2>0\spc
    {\tc{black}{\text{és}}}\, \ \ \frac 1n \sum_j c_{j,3} \to
    C_3\spc |C_3|<\infty.}}


~ A {\tc{red}{centrális határeloszlás tétele}} (central limit theorem,
CLT) hagyományosan annak a rigorózus megfogalmazása, hogy bizonyos
feltételek mellett nagyszámú véletlen változó összege a limitben gaussi
eloszlású.

~ {\tc{dcyan}{Általánosítás \LE{x^{-3}} hatványnál lassabban lecsengő PDF-ekre.}}
Ha a kumuláns generátor \LE{\psi_j(z) = c_{j,1} iz - c_{j,\alpha}
  |z|^\alpha + \dots, \tc{black}{\text{ahol~}} 0<\alpha<2}, rögzített,  akkor a
határ{\-}eloszlás generátorát a
  {\EQ{\Psi(w) \approx - |w|^\alpha \label{eq:levy}}}
alakra skálázzuk.  Ez a forma invariáns a konvolúcióval szemben, és a szimmetrikus
{\tc{dcyan}{Lévy eloszlás}}t definiálja
{\EQ{P_\alpha(x)= \int \frac{\D w}{2\pi} \, \cos(xw)\, e^{-|w|^\alpha}}}

 \begin{figure}\begin{center}
  \includegraphics[width=6cm]{levy_szim.eps}\\
  \figcap{Szimmetrikus Lévy-sűrűségek.}
\label{fig:levy}
  \end{center}
\end{figure}

~ Gyakorlati szempontból azt mondhatjuk, ha a sűrűségfüggvény nagy
\LE{|x|}-re az \LE{|x|^{-\alpha-1}} szerint cseng le, akkor
\LE{0<\alpha<2} esetén a határeloszlás az \LE{\alpha} indexű
Lévy-függvény. Ha a lecsengés különböző kitevőkkel megy pozitív ill.\
negatív \LE{x}-re, akkor a kisebbik számít.

~Az \LE{\alpha=1} mellett a határeloszlás Cauchy-féle
\EQ{P(x)=[\pi(1+x^2)]^{-1}.}
A képlet a Lorentz-görbe.

~Ha \LE{\alpha\ge 2}, vagy a lecsengés
minden hatványnál gyorsabb, beleértve azt az esetet is, amikor az
eloszlás tartója korlátos, a határeloszlás gaussi.

{\subsubsection{\tc{dgreen}{ Stabil eloszlások} }}

A centrális határeloszlásokat önmagukkal konvolválva az eredeti határeloszlást
kapjuk vissza, lineáris változócsere erejéig.  A követelmény általános alakja,
hogy minden \LE{m,\sigma} párhoz található olyan \LE{m',\sigma'}, melyre
{\EQ{P(x)\ast \dfrac 1\sigma P\left( \dfrac{x-m}{\sigma}\right)  =
\dfrac{1}{\sigma'} P\left(\dfrac{x-m'}{\sigma'}\right).\label{eq:stabil}}}
Pl.\ Gauss eloszlásra \LE{m'=m,\sigma'=\sqrt{1+\sigma^2}}, míg a Cauchy
eloszlásra \LE{m'=m,\sigma'=1+\sigma}.  Tájékoztatásul közöljük, hogy a kumuláns
generátorok nyelvén megadható a fenti feltétel általános megoldása
{\EQ{\Psi(z)=  iaz -b|z|^\alpha \left( 1+ic\,\mathrm{sgn}(z)\,f_\alpha(z)\right),
 }}
ahol \LE{0<\alpha\leq 2}, \LE{b>0} és \LE{-1\leq c \leq 1}, továbbá
{\EQ{f_\alpha(z) = \left\lbrace\begin{array}{l}
\tan \dfrac{\pi\alpha}{2}\spc \mathrm{ha} \ \ \alpha\neq 1\\
\dfrac 2\pi \log |z|\spc \mathrm{ha} \ \ \alpha=1
\end{array}\right. }}
A szimmetrikus Lévy határeloszlást a \LE{c=0} esetben kapjuk.

Vegyük észre, hogy centrális határeloszlásnak ki kell elégítenie a
(\ref{eq:stabil}) követelményt, de innen még nem következik, hogy
(\ref{eq:stabil}) minden megoldása más eloszlások határa is egyben.

\subsection{\tc{dgreen}{A statisztikus modellezés elemei}}

Adatsorok alapján azok eloszlását szeretnénk meghatározni.  Valamilyen
előzetes, prior feltételezésre szükség van, pl. sejtjük az
eloszlásfüggvény típusát, s ennek paramétereit számítjuk.




\subsubsection{\tc{dgreen}{ Empirikus átlagok } }


Tegyük fel, hogy az \LE{\{x_i\}_{i=1}^n} adatok iid véletlen számok, s ismeretlen \LE{c_1=m, \  c_2=\sigma^2} kumulánsokkal jellemzett eloszlásból
származnak. Vezessük be az egzakt paraméterek becslése céljából az empirikus \LE{m_{\mathrm{emp}}}
átlagot és \LE{\sigma_{\mathrm{emp}}^2} varianciát
\EQA{m&\approx& m_{\mathrm{emp}}  = \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i, \\
\sigma^2 &\approx& \sigma_{\mathrm{emp}}^2  = \frac {1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - m_{\mathrm{emp}})^2, \ \ \ (n>1).}  Az empirikus paramétereket azért definiáltuk íly módon, mert átlaguk az egzakt értékeket adják:  \GF{Mutassuk meg, hogy
\LE{\left\langle m_{\mathrm{emp}}\right\rangle  = m,\,\,  \left\langle \sigma^2_{\mathrm{emp}}\right\rangle  = \sigma^2}.
A második egyenlőség indokolja az empirikus szórás definiáló relációjában található \LE{n-1} osztót.}

\HF{Határozzuk meg az empirikus \LE{ m_{\mathrm{emp}}}
  és \LE{ \sigma_{\mathrm{emp}}^2} mennyiségek szórását az átlagaik körül! (15\% )}

\subsubsection{\tc{dgreen}{ Konfidencia intervallum} }

Az empirikus paraméterek csupán becslések.  Hogyan jellemezhetjük a becslések jóságát?

\begin{figure}\begin{center}
  \includegraphics[width=6cm]{konfidenc.eps}\\
  \figcap{A sztenderd normál eloszlás \LE{1-a} konfidenciaintervalluma. Az egyes tartományok súlyai \LE{a/2,1-a,a/2}.}
\label{fig:konf}
  \end{center}
\end{figure}

\tc{dcyan}{Konfidencia intervallum}: olyan tartomány, amelybe
a jósolt paraméter adott, mondjuk\ \LE{1-a} valószínűséggel esik.
Például, sztenderd normál eloszlás esetén az \EQ{a/2 = \int_{-\infty}^{-z_{a/2}}\D z \, N(z)\equiv   M(-z_{a/2})} transzcendens egyenlet megoldása adja az \LE{1-a} (azaz \LE{100(1-a)\%}-hoz tartozó), átlagra centrált konfidencia intervallumát: \LE{(-z_{a/2},z_{a/2})}.

Elnevezés:  A \LE{z_{p}} az \LE{1-p} valószínűséghez tartozó
{\tc{dcyan}{kvantilis}}, azaz \LE{1-p = M(z_{p})}.  A
\LE{p} kvantilise \LE{-z_{p}}.


\subsubsection{\tc{dgreen}{ Egyszerű példa: Gauss eloszlás
paramétereinek meghatározása} }

Ha az iid \LE{\{x_i\}_{i=1}^n} adatsort normál eloszlás generálta, akkor adjuk meg a konfidencia intervallumokat a fentebb bevezett empirikus paraméterek körül.

Tudjuk, hogy (minden \LE{n}-re) az \LE{m_{\mathrm{emp}}} normál eloszlású
\LE{m, \ \sigma^2/n} kumulánsokkal, ezért az alábbi \LE{z} változó
sztenderd normál eloszlású \EQ{z=\frac{m_{\mathrm{emp}}-m}{\sigma/\sqrt{n}} \
  \sim \ N(z;0,1)\equiv N(z).}

~Ennek alapján empirikus konfidencia intervallumot adhatunk
\LE{m}-re. A Gauss eloszlású empirikus átlagra \LE{1-a}
valószínűséggel teljesül \EQ{\label{eq:m_becs1} m - z_{a/2} \sigma / \sqrt{n} \le
  m_{\mathrm{emp}} \le m + z_{a/2} \sigma /\sqrt{n}.}  Innen
az \LE{\sigma_{\mathrm{emp}}^2} empirikus szórást beírva
kapjuk ismert \LE{m_{\mathrm{emp}}} esetén az \LE{m}-re
vonatkozó becslést \EQ{\label{eq:m_becs2} m_{\mathrm{emp}} -
  z_{a/2} \sigma_{\mathrm{emp}} / \sqrt{n} \le m \le
  m_{\mathrm{emp}} + z_{a/2} \sigma_{\mathrm{emp}} /
  \sqrt{n}.} Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ehhez a
konfidenciaintervallumhoz csupán közelítőleg tartozik az
\LE{1-a} valószínűség. A valódi valószínűség ennél kisebb,
hiszen az empirikus szórás is becslésből származott.

\HF{Becsüljük meg a szórás \LE{1-a} konfidenciaintervallumát
  nagy \LE{n} mellett! Használjuk az \LE{
    \sigma_{\mathrm{emp}}^2}-re vonatkozóan a centrális
  határeloszlás tételét.  Vegyük észre, hogy a (\ref{eq:m_becs1})-ben szereplő egzakt szórás helyére (\ref{eq:m_becs2})-ben az empirikust írtuk. Mennyire csökken ezáltal a konfidenciaintervallumhoz tartozó valószínűség
  \LE{1-a} értékhez képest?  (10-10\%)}

\subsubsection{\tc{dgreen}{ Hipotézis valószínűsége -- Bayes elve}}

Okozza az {\LE{\mathcal{A}}} (jelenség, törvény, fizikai mennyiség,
paraméter érték) a \LE{\mathcal{B}} mért adatokat.  Tegyük fel
\LE{P(\mathcal{B}| \mathcal{A})}-t ismertnek, azaz ha ismerjük az
okot, akkor az adatok eloszlását ki tudjuk számítani.  Most azonban a
fordított helyzettel állunk szemben: ismerjük \LE{\mathcal{B}}-t,
ennek alapján mekkora valószínűséggel tehetjük fel mögötte az
\LE{\mathcal{A}} okot?  {\tc{dcyan}{Bayes}} formulája

{\EQ{P(\mathcal{A}| \mathcal{B}) = \frac{P(\mathcal{A},
    \mathcal{B})}{P(\mathcal{B})} = \frac{P(\mathcal{B}|
    \mathcal{A})P(\mathcal{A})} { \sum_{\mathcal{A}} P(\mathcal{B}|
    \mathcal{A}) P(\mathcal{A})}}}

matematikai trivialitás, de értelme szerint a {\tc{dcyan}{statisztikus
  inferencia}} alaprelációja.  Ha ismert a \LE{\mathcal{B}}
következmény, a formula megadja az azt kiváltó lehetséges
\LE{\mathcal{A}} hipotézisekhez rendelhető valószínűségeket.

~"Input":   előzetes, prior, az adatok ismerete nélküli
\LE{P(\mathcal{A})} valószínűség. Ez az eljárás érzékeny eleme, a prior
valószínűség gyakran konvenció kérdése.
\ns

{\HF{ Valamely részecske tömegére a
    \LE{P_{\mathrm{emp}}(m_{\mathrm{emp}})} empirikus eloszlást
    mérik, ahol \LE{m_{\mathrm{emp}}} a kísérleti (esetleg
    más paramétereken keresztül visszaszámolt) tömeg.  A
    szokásos eljárás az, hogy a \LE{P_{\mathrm{emp}}(m)}
    eloszlást tekintik egyben a valódi \LE{m} tömegre
    vonatkozó hipotézis valószínűségének.  Lehetséges lenne,
    hogy itt prior valószínűségeloszlás nélkül kapunk
    eredményt? (10\%)}}

\subsubsection{\tc{dgreen}{Példák}}

~~\tc{dgreen}{1. Bináris kísérlet.}

Kísérlet kimenetele lehet \LE{p} valószínűséggel ``1'' és \LE{1-p} -vel ``0'', azonban nem ismerjük \LE{p}-t.   Független kísérletek sorozatából nyert adatsor, pl.
0010111010111001100010 alapján kívánjuk \LE{p}-t megbecsülni.
Végezzünk \LE{n} kísérletet, melyekben \LE{k} alkalommal kapunk 1-et:
az \LE{\mathcal{A}} ok most \LE{p}, a \LE{\mathcal{B}} mért adat
pedig \LE{k}.  \tc{red}{Adott \LE{k} esetén milyen valószínűséggel állíthatjuk,
hogy \LE{p} volt a kísérletsorozatban az ``1'' bekövetkezésének valószínűsége?}

A \LE{k} binomiális eloszlást követ
\EQ{P(\mathcal{B}| \mathcal{A}) = P(k|p) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},}
s tegyük fel, hogy a prior \LE{P(p)\equiv 1, \ (0\le p\le 1)}.  A keresett valószínűség
\EQ{P(\mathcal{A}| \mathcal{B}) = P(p|k) = \frac{P(k|p)}{\int_0^1\D p
\,P(k|p)}.}
Ez a binomiális eloszlás \LE{p}-re normálva. Számítsuk ki a normálási faktort
\EQ{\int_0^1\D p \,p^k(1-p)^{n-k}=  B(k+1,n-k+1) =
\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{\Gamma(n+2)} = \frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
}
(itt \LE{B} neve béta-függvény), ahonnan a hipotézis valószínűsége
\EQ{P(p|k) = (n+1) \binom nk p^k (1-p)^{n-k}. \label{eq:binom-bayes}}

\parbox[b]{40mm}{ Szimmeria: \\ \LE{P(p|k) = P(1-p|n-k)} \\ Ábra: \LE{n=10} mellett a \LE{P(p|k)} a \LE{k=0,1,5} esetekben.\vspace{1cm} } \hspace{1cm}
\includegraphics[width=5cm,height=5cm]{Bayes1.eps}

Az átlag és a szórás
\EQ{\av{p} = \frac{k+1}{n+2}\spc
\Delta^2p=\frac{(k+1)(n-k+1)}{(n+2)^2(n+3)} .}
Vegyük észre, hogy noha \LE{\frac{k}{n}}  átlaga \LE{p}, az átlagos
\LE{p} az adatok alapján nem \LE{\frac{k}{n}}  mért értéke! Ennek jelentősége az, hogy homogén 0 jelsorozat, azaz \LE{k=0} esetén \LE{\av{p} = \frac{1}{n+2}> 0}.  Ez lehet kicsi, de nem zárhatjuk ki, hogy a \LE{p} pozitív volt.  Homogén 1 jelek pedig megengedik az egynél kisebb \LE{p}-t is, \LE{\av{p} = \frac{n+1}{n+2}<1}.

\GF{Határozzuk meg a \LE{\Delta p}-hez tartozó konfidencia szintet! Azaz milyen
valószínűséggel esik a \LE{p} az átlagtól egyszeres szórás távolságon belülre?}

~~\tc{dgreen}{2. Mekkora valószínűséggel kel fel holnap reggel a nap?}

Tegyük fel, hogy eddig \LE{n}-szer ismerten felkelt (ékírás
ill.  hieroglifák 5000 évesek, vagy használjuk a Föld
életkorát, cca.\ 5 Gév).  Legyen a napkelte valószínűsége
\LE{p}, ha ezt időben állandónak és napkeltéket egymástól
független eseményeknek tekintjük, akkor az előzőeket a
\LE{k=n} esetre alkalmazva \EQA{P(p|n)&=&(n+1)p^n, \nn
  \\\av{p} &=&\frac{n+1}{n+2}\approx 1-\frac{1}{n}, \ \ \Delta p
  \approx \frac{1}{n}. }  A \LE{p=1} közelítőleg egyszeres szórásra
van az átlagtól.

\HF{Tegyük fel, hogy egységnyi idő alatt \LE{k} radioaktív bomlást mérünk.  Milyen valószínűséggel mondhatjuk, hogy a bomlási  állandó \LE{\lambda}? (10\%) }

~~\tc{dgreen}{3. Hamis vagy nem hamis?}

Egy dobókockáról annyit tudunk, hogy vagy hamis, ezesetben minden
dobásra hatost mutat (ólmozott, esetleg minden oldalán hatos áll),
vagy "tiszta", s ekkor \LE{1/6} valószínűséggel mutatja bármelyik
oldalát.  Legyen \LE{n} dobás eredménye hatos, milyen valószínűséggel
állíthatjuk, hogy a kocka hamis ill.  tiszta?

~Rövid megoldás: a hamis kockával \LE{6^n} féleképpen kaphattuk a
hatosokat, míg a tisztával egyféleképp.  A hamis ill.  tiszta esetek
száma osztva az összes esettel adja \EQ{P(\text{hamis}) =
  \frac{6^n}{6^n+1}\spc P(\text{tiszta})= \frac{1}{6^n+1}.}  Látszólag
nem használtunk prior valószínűségeket, hogyan lehetséges ez?
\HF{Oldjuk meg a problémát a Bayes formula alapján!(15\%)}

\end{slide}

\end{document}


