\documentclass[11pt]{article}
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%Macros de configuration pour la mise en forme des séries.
%Marges
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\def\eref#1{(\ref{#1})}
\mydimensions
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\parindent = 0truecm
%Titre avec barre
\newcommand\Header[3]{\phantom{...}
\vskip -2.0truecm
\noindent {\obeylines UNIVERSIT\'E DE GEN\`EVE\hfill FACULT\'E DES SCIENCES
\vskip -2mm \noindent Section de Physique\hfill Prof. Michel Droz
\vskip 1.5mm
\hrule
\vskip 0.5truecm}
\begin{center} {\bf\large #1 -- Série #2} \end{center}
\begin{center} {\bf #3} \end{center}\pagestyle{empty}}
%environnement exo
\newcommand\proclaim[2][\bf]{\medbreak\noindent{#1#2}\enspace\ignorespaces}
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\newenvironment{exo}[1][ ]{\ifthenelse{\equal{#1}{ }}{\proclaim{Exercice \arabic{exocomp}.}}{\proclaim{Exercice \arabic{exocomp} (#1).}}\stepcounter{exocomp}\hspace*{\fill}\linebreak\parindent=0pt}{\vskip 5mm}

%Fin des macros de mise en page.
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\begin{document}

\newcommand \be {\begin{equation}}
\newcommand \ee {\end{equation}}
\newcommand \bea {\begin{eqnarray}}
\newcommand \eea {\end{eqnarray}}

\Header{Invariance d'\'echelle, ph\'enom\`enes critiques\\
et groupe de renormalisation}{3}{1 avril 2009}


{\bf Exercice 1. Mod\`ele d'Ising $S=1$ et mod\`ele de Potts}

\medskip

On consid\`ere un mod\`ele de spin classique $S=1$ d'hamiltonien :
\be
H_1 = -J \sum_{<i,j>} s_i s_j - K \sum_{<i,j>} s^2_i s^2_j +
D \sum_i s^2_i
\ee
avec $s_i=-1,0$ ou $1$; la somme $\sum_{<i,j>}$ porte sur tous les liens du r\'eseau (chaque lien est compt\'e une seule fois).
Montrer que dans le cas o\`u $K=3J$ et $D=2zJ$, o\`u $z$ est le nombre de coordination du r\'eseau, le mod\`ele ci-dessus peut s'\'ecrire comme un mod\`ele de Potts \`a trois \'etats, d'hamiltonien :
\be
H_3 = -\bar{J} \sum_{<i,j>} \left[ \delta_{s_i,s_j} - 1 \right]
\ee
o\`u
\be
\delta_{s_i,s_j} =
\begin{cases}
1 \quad \hbox{si} \quad s_i=s_j \\
0 \quad \hbox{sinon}
\end{cases}
\ee
\underline{Indication} : \'ecrire $\delta_{s_i,s_j}$ comme un polyn\^ome de ses variables.


\bigskip

{\bf Exercice 2. Aimantation d'un amas de spins}

\medskip


On s'int\'eresse \`a de petits r\'eseaux d'Ising "hypercubiques" en dimension $d$, avec interaction ferromagnetique entre plus proches voisins. Consid\'erer un amas de $M$ spins en interaction
(on se limitera \`a $M=1,2$). Les spins plus proches voisins de l'amas, repr\'esent\'es sur la figure ci-dessous en dimension $d=3$, g\'en\`erent un champ effectif $b$ dans l'amas.
L'hamiltonien effectif de l'amas est donc :

\begin{equation}
H= -J {\sum_{<i,j>}}^{\prime} s_i s_j - b \sum_{i=1}^M s_i
\end{equation}
o\`u $\sum_{<i,j>}^{\prime}$ est la somme r\'eduite aux paires de sites plus
proches voisins appartenant \`a l'amas de taille $M$.
\vspace{4mm}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{cluster.eps}
\end{center}
\end{figure}

Les amas de tailles
$M=1$ et $M=2$ sont sch\'ematis\'es sur la figure
ci-dessus. Les symboles $\circ$ repr\'esentent les sites voisins dont
l'influence est traduite par le champ effectif $b$.




Calculer dans l'ensemble canonique l'aimantation par spin $m(J,T,b)$ dans
les deux cas ($M=1,2$), pour une dimension $d$ quelconque de l'espace.
Ce mod\`ele \'el\'ementaire sera utilis\'e par la suite dans des calculs de
renormalisation.



{\bf Exercice 3. Transformation de Hubbard-Stratonovich}

\medskip


On consid\`ere un mod\`ele d'Ising d'hamiltonien (en dimension arbitraire) :
$$
H=-\sum_{i,j} J_{ij}s_i s_j - \sum_i s_i h_i
$$
o\`u les constantes d'interaction $J_{ij}$ sont positives (la somme porte sur
toutes les paires de sites du r\'eseau, donc un grand nombre de $J_{ij}$
peuvent \^etre nuls).
La fonction de partition canonique s'\'ecrit :
$$
Z = \sum_{\{s_i=\pm 1\}} \exp \left[ \sum_{i,j} K_{ij} s_i s_j +
\sum_i H_i s_i \right]
$$
avec $K_{ij}=\beta J_{ij}$ et $H_{i}=\beta h_{i}$

\medskip

({\it i}\/) Montrer en utilisant une transformation de Hubbard-Stratonovich
que la fonction de partition peut s'\'ecrire comme une int\'egrale
multiple sur des variables continues (que l'on appelle parfois int\'egrale
fonctionnelle).

\underline{Indications :}

Il est facile de montrer l'identit\'e suivante
(dite de Hubbard-Stratonovich) :
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \exp \left[-\frac{x^2}{4a^2} + sx \right] =
C^{ste}.\exp(a^2 s^2)
$$
Cette \'egalit\'e se g\'en\'eralise pour toute matrice $\mathcal{V}$,
sym\'etrique et d\'efinie positive $\mathcal{V}=\left\{V_{ij}\right\}$ :\\
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\prod_{i=1}^N dx_i \,
\exp \left[ -\frac{1}{4} \sum_{i,j} x_i V_{ij}^{-1} x_j + \sum_i s_i x_i \right] = C^{ste}.\exp(\sum_{i,j} s_i V_{ij} s_j)
$$
Faire une transformation sur $Z$, en introduisant une int\'egration sur des
variables $x_i$ gr\^ace \`a la relation de Hubbard-Stratonovitch, puis
faire un changement de variable simple $x_i \to \phi_i$ pour faire sortir
de l'int\'egrale un terme quadratique en $H_i$.

({\it ii}\/) Effectuer le changement de variable :
$\psi_{i}=\frac{1}{2}\sum_{j} K_{ij}^{-1}\phi_{j}$, et montrer que l'on
obtient :
\bea \nonumber
Z &\propto& \exp\left(-\frac{1}{4}\sum_{i,j}H_{i}K_{ij}^{-1}H_{j}\right)
\times \\ \nonumber
&& \int \prod_i d\psi_i \ \exp\left[-\sum_{i,j}\psi_{i}K_{ij}\psi_{j}
+ \sum_{i} H_{i} \psi_{i}+\sum_{i}\ln \left(\cosh(2 \sum_j K_{ij}\psi_{j})
\right)\right]
\eea

\medskip

({\it iii}\/) Comparer ce r\'esultat \`a la th\'eorie de Ginzburg-Landau.
Pour cela, on pourra d\'evelopper le terme
$\ln \left(\cosh(2 \sum_j K_{ij}\psi_{j})\right)$ en s\'erie et ne retenir
que les termes de plus bas ordres.

\underline{Indication :}
$\qquad \ln(\cosh x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{12}x^{4}+\mathcal{O}(x^{6})$.

D'autre part, dans le cas particulier de la dimension $d=1$, et des
interactions aux plus proches voisins, r\'e\'ecrire le terme
$\sum_{i,j}\psi_i K_{ij}\psi_j$ pour faire apparaitre un terme
$\sum_i (\psi_i - \psi_{i-1})^2$.



\end{document}


