\documentclass[11pt]{article}
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%Macros de configuration pour la mise en forme des séries.
%Marges
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\def\eref#1{(\ref{#1})}
\mydimensions
\parskip = 0.2truecm
\parindent = 0truecm
%Titre avec barre
\newcommand\Header[3]{\phantom{...}
\vskip -2.0truecm
\noindent {\obeylines UNIVERSIT\'E DE GEN\`EVE\hfill FACULT\'E DES SCIENCES
\vskip -2mm \noindent Section de Physique\hfill Professeur Michel Droz
\vskip 1.5mm
\hrule
\vskip 0.5truecm}
\begin{center} {\bf\large #1 -- Série #2} \end{center}
\begin{center} {\bf #3} \end{center}\pagestyle{empty}}
%environnement exo
\newcommand\proclaim[2][\bf]{\medbreak\noindent{#1#2}\enspace\ignorespaces}
\newcounter{exocomp}
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\newenvironment{exo}[1][ ]{\ifthenelse{\equal{#1}{ }}{\proclaim{Exercice \arabic{exocomp}.}}{\proclaim{Exercice \arabic{exocomp} (#1).}}\stepcounter{exocomp}\hspace*{\fill}\linebreak\parindent=0pt}{\vskip 5mm}
%Fin des macros de mise en page.
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\begin{document}

\newcommand \be {\begin{equation}}
\newcommand \ee {\end{equation}}
\newcommand \bea {\begin{eqnarray}}
\newcommand \eea {\end{eqnarray}}

\Header{Invariance d'\'echelle, ph\'enom\`enes critiques\\
et groupe de renormalisation}{2}{18 mars 2009}



{\bf Exercice 1. Comportement asymptotique d'une fonction}

\medskip

L'exposant $\mu$ caract\'erisant le comportement asymptotique d'une fonction 
$f(x)$ pour $x\to 0^+$ est d\'efini par :
\be
\mu=\lim_{x\to 0^+} \frac{\log |f(x)|}{\log x}
\ee
({\it i}\/) Trouver $\mu$ pour les cas suivants ($x>0$) :
\bea
f_1(x) &=& A x^{\alpha} (a+bx^{\beta}) \qquad \qquad \qquad \qquad \beta,\,
a,\, b >0 \\
f_2(x) &=& B |\log (x)|^{\gamma} x^{\delta} (c+d x^{\epsilon}) \qquad \qquad
\gamma,\, \epsilon,\, c,\, d > 0 \\
f_3(x) &=& C \exp(-Dx^{-\zeta}) \qquad \qquad \qquad \quad D,\, \zeta > 0
\eea
({\it ii}\/) Si $\mu=0$, l'exposant auxiliaire $\mu_s$ est d\'efini comme
suit : soit $f(x)$ telle que $f(x=0^+)=$ constante, et $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime},
\dots$ les d\'eriv\'ees successives de $f$.  Soit $k$\/ l'ordre de la premi\`ere
d\'eriv\'ee qui diverge lorsque $x\to 0^+$, c.a.d.
\be
f^{(m)}(x\to 0^+)
\begin{cases}
< \infty \qquad \, $m<k$, \\
\to \infty \qquad $m=k$.
\end{cases}
\ee                               
Alors
\be
\mu_s \equiv k+\lim_{x\to 0^+} \frac{\log |f^{(k)}(x)|}{\log x}
\ee
Trouver $\mu_s$ pour les cas ci-dessus o\`u $\mu =0$.

\bigskip


{\bf Exercice 2. Relation de fluctuation-dissipation }

\medskip

L'Hamiltonien du mod\`ele d'Ising en dimension $d$ quelconque peut
s'\'ecrire :
\be
{\cal H} = {\cal H}_0 - h \sum_j S_j
\ee
o\`u $h$ est le champ ext\'erieur, $S_j(=\pm 1)$ le spin au site $j$,
et ${\cal H}_0$ l'Hamiltonien en champ nul :
\be
{\cal H}_0 = -J \sum_{<i,j>} S_i S_j
\ee
la somme portant sur les plus proches voisins.
La fonction de partition canonique $Z$ est d\'efinie par :
\be
Z = {\rm Tr}\, \exp(-\beta{\cal H})
\ee
Soit $m$ l'aimantation moyenne $m = \frac{1}{N} \sum_j  \langle S_j 
\rangle =\langle S_j
\rangle$. Montrer que la susceptibilit\'e isotherme vaut :
\be
\chi_T \equiv \left.\left(
\frac{\partial m}{\partial h}\right)_T\right|_{h=0}
=\beta \sum_k \left(\langle S_jS_k\rangle-\langle S_j\rangle^2\right)
\ee
o\`u $j$ est un site quelconque, mais fix\'e. Cette \'equation reliant la
susceptibilit\'e \`a la corr\'elation est appel\'ee {\it relation de
fluctuation-dissipation}. Elle est importante \`a la fois d'un point de vue 
th\'eorique, car elle permet de g\'en\'eraliser la notion de temp\'erature
\`a certains syst\`emes hors d'\'equilibre, et d'un point de vue
exp\'erimental car elle conduit notamment \`a des mesures pr\'ecises de
temp\'eratures tr\`es basses.

\bigskip


{\bf Exercice 3. Mod\`ele d'Ising sur un r\'eseau en arbre}

\medskip


On consid\`ere un mod\`ele d'Ising d'hamiltonien :
\be
H = -J \sum_{<i,j>} s_i s_j \qquad J>0
\ee
(la somme porte sur les plus proches voisins) sur un r\'eseau particulier,
appel\'e un arbre de Cayley. L'arbre de Cayley est d\'efini de la mani\`ere
suivante :
partant d'un site central ``0'', m branches se dirigent vers les sites ``1'', 
``2'', ..., ``m''.\\
De chacun de ces nouveaux sites \'emergent \`a nouveau m nouvelles branches. 
Par construction, il n'y a pas de boucle ferm\'ee. Le processus est it\'er\'e 
\`a l'infini. La figure ci-dessous illustre le cas m=3 :\\

\vspace{4mm}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{arbre.eps}
\end{center}
\end{figure}

Calculer dans ce mod\`ele :

({\it i}\/) la fonction de partition canonique $Z$.

({\it ii}\/) la densit\'e d'\'energie libre par site $f$.

({\it iii}\/) la chaleur sp\'ecifique par site
$c = -T \partial^2 f/\partial T^2$.



\end{document}                    


